Le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est constitué d'un nombre infini de lignes. Chaque élément d'une ligne est construit en additionnant les deux éléments de la ligne précédente qui l'encadrent.
Le triangle de Pascal a plusieurs propriétés intéressantes:
-La somme des nombres de la ligne n est 2^(n-1)
-Si on remplace les nombres impairs par un 1 et les nombres pairs par un 0, on obtient le triangle de Sierpinski.
-Les diagonales ont aussi des propriétés intéressantes.
-La 1ere diagonale est constituée de 1
-La 2e diagonale est constituée des nombres 1, 2, 3, 4,…
-La 3e diagonale est constituée de la somme des nombres de 1 à 1, de 1 à 2, de 1 à 3, etc.

Il porte le nom de Blaise Pascal, même si, entre autres, les Chinois, les Indiens et les Perses le connaissait des siècles avant Pascal.

Nombres de Mersenne

Un nombre premier de Mersenne est un nombre de la forme 2^p – 1, c'est-à-dire 2 élevé à la puissance p – 1. Si p est un nombre composé (pas premier), 2^p – 1 sera composé, mais si p est premier (comme 2, 3, 5, 7,….), 2^p – 1 peut être premier, mais pas nécessairement. Ainsi 2^11-1 = 2047 = 23 x 89.
En 1876, après 19 ans de travail sans machine, Édouard Lucas a réussi à prouver que 2^127-1 (un nombre de 39 chiffres) était un nombre premier. Aujourd'hui, le plus grand nombre premier connu est 2^43 112 609 - 1 (un nombre de 12 978 189 chiffres).

Carré magique

Un carré magique est un carré de côté de longueur n dans lequel on a placé tous les nombres de 1 à n^2. La somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne (et souvent des deux diagonales) du carré est toujours la même.
Étant donné que la somme des nombres de 1 à n^2 est (n^2) (n^2-1)/2, la somme recherchée est égale à (n^2) (n^2-1)/2n. ou (n) (n^2-1)/2.
Pour les carrés magiques de longueur de 3 à 10 on a donc des sommes de
15, 34, 65, 111, 175, 260, 369 et 505

Un des carrés magiques les plus célèbres se trouve dans la gravure Melencolie d'Albrecht Dürer qui date de 1514 (voir les carrés du centre de la ligne du bas du carré)