Compter des rectangles

Je vais revenir sur le problème du dénombrement des triangles et le transformer un peu. Si au lieu de triangles, on devait compter des rectangles, combien y en aurait-il dans une colonne de rectangles.
Si la colonne n'en contient qu'un la réponse est évidente, il y en a 1
Si la colonne contient deux rectangles, il y a 2 rectangles de longueur 1 et 1 rectangle de longueur 2. 2 + 1 = 3
Si la colonne en contient trois, il y a 3 rectangles de longueur 1, 2 de longueur 2 et 1 de longueur 3. 3 + 2 + 1 = 6
Si la colonne en contient quatre, il y a 4 rectangles de longueur 1, 3 de longueur 2, 2 de longueur 3 et 1 de longueur 4. 4 + 3 + 2 + 1 = 10
Vous voyez où je veux en venir.
Une colonne de hauteur n, contiendra donc 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ n rectangles.
En relisant la colonne précédente on peut donc dire qu'une colonne de hauteur n contient n(n+1)/2 rectangles.

Somme des nombres de 1 à n

Pour additionner les nombres de 1 à 100, par exemple, il suffit de multiplier 101 par 100 et de diviser par 2. Pourquoi? Tout simplement parce que si on écrit les nombres de 1 à 100 en colonne sur une (grande) feuille de papier et qu'on les réécrit en ordre décroissant sur une autre colonne, on se retrouve avec 100 lignes dont la somme est 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,..., 100 + 1 = 101. Le total de ces 100 lignes donne 100 x 101 et omme il correspond à deux fois la somme demandée, il suffit de diviser ce résultat par 2.

En bref, la somme des nombres de 1 à n est égale à n(n+1)/2.

Selon la légende, cette formule connue depuis très longtemps aurait été utilisée par le grand mathématicien Johann Gauss alors qu'il n'avait que 10 ans.

suite au problème précédent

Eh bien non! La réponse est 48, comme on peut le voir dans ce site et la raison est expliquée (en anglais) dans ce site.
En bref, le nombre de triangles dans un triangle à n étages est n(n+2)(2n+1)/8, lorsque n est pair et (n(n-2)(2n-1)-1/8) quand n est impair.

Compter des triangles

Combien de triangles y a-t-il dans cette figure?

Nous avions trouvé qu'il y avait 1 triangle avec 1 étage de triangles, 5 triangles avec 2 étages, 13 triangles avec 3 étages et 27 dans avec 4 étages. Nous pensions qu'avec 5 étages on aurait peut-être 47 triangles. Avions-nous raison?

les triplets pythagoriciens

Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des autres côtés (c'est à dire a^2+b^2=c^2). Il existe un moyen très simple de trouver trois nombres entiers qui obéissent à ce critère (c'est ce qu'on appelle un triplet pythagoricien). On remarque que la différence entre deux nombres carrés est égale à la somme de leurs racines carrées. Par exemple: 64 - 49 = 15 ou 8^2 - 7^2 = 8+7. Cette différence est toujours un nombre impair, mais si cette différence est un carré, nous avons trouvé nos trois nombres.
Par exemple: Prenons 7^2 ou 49. 49 = 24 + 25 et donc 25^2 - 24^2 = 7^2.

On trouvera beaucoup de faits intéressants en suivant ce lien

Les angles intérieurs de l'hexagone

Tout a commencé avec un problème où il fallait trouver la valeur de l’angle intérieur d’un hexagone régulier.

Il est facile de voir qu’un hexagone régulier peut être divisé en six triangles congrus. Comme la somme des angles intérieur de chaque triangle est de 180 degrés. (une belle preuve se trouve sur ce site: http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle#Somme_des_angles) La somme des angles de ces six triangles est de 1080 degrés (6 x 180), mais comme les angles qui se rejoignent au centre de l’hexagone ont une somme de 360 degrés, La somme des angles intérieurs de l’hexagonne vaut seulement 720 degrés (1080 - 360). La valeur de l’angle intérieur d’un hexagone régulier vaut donc 120 degrés (720/6).
On peut étendre ce raisonnement à un polygone à n côtés. Dans ce cas, l'angle intérieur mesurera 180 (n-2)/n.