Le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est constitué d'un nombre infini de lignes. Chaque élément d'une ligne est construit en additionnant les deux éléments de la ligne précédente qui l'encadrent.
Le triangle de Pascal a plusieurs propriétés intéressantes:
-La somme des nombres de la ligne n est 2^(n-1)
-Si on remplace les nombres impairs par un 1 et les nombres pairs par un 0, on obtient le triangle de Sierpinski.
-Les diagonales ont aussi des propriétés intéressantes.
-La 1ere diagonale est constituée de 1
-La 2e diagonale est constituée des nombres 1, 2, 3, 4,…
-La 3e diagonale est constituée de la somme des nombres de 1 à 1, de 1 à 2, de 1 à 3, etc.

Il porte le nom de Blaise Pascal, même si, entre autres, les Chinois, les Indiens et les Perses le connaissait des siècles avant Pascal.

Nombres de Mersenne

Un nombre premier de Mersenne est un nombre de la forme 2^p – 1, c'est-à-dire 2 élevé à la puissance p – 1. Si p est un nombre composé (pas premier), 2^p – 1 sera composé, mais si p est premier (comme 2, 3, 5, 7,….), 2^p – 1 peut être premier, mais pas nécessairement. Ainsi 2^11-1 = 2047 = 23 x 89.
En 1876, après 19 ans de travail sans machine, Édouard Lucas a réussi à prouver que 2^127-1 (un nombre de 39 chiffres) était un nombre premier. Aujourd'hui, le plus grand nombre premier connu est 2^43 112 609 - 1 (un nombre de 12 978 189 chiffres).

Carré magique

Un carré magique est un carré de côté de longueur n dans lequel on a placé tous les nombres de 1 à n^2. La somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne (et souvent des deux diagonales) du carré est toujours la même.
Étant donné que la somme des nombres de 1 à n^2 est (n^2) (n^2-1)/2, la somme recherchée est égale à (n^2) (n^2-1)/2n. ou (n) (n^2-1)/2.
Pour les carrés magiques de longueur de 3 à 10 on a donc des sommes de
15, 34, 65, 111, 175, 260, 369 et 505

Un des carrés magiques les plus célèbres se trouve dans la gravure Melencolie d'Albrecht Dürer qui date de 1514 (voir les carrés du centre de la ligne du bas du carré)

Compter des rectangles

Je vais revenir sur le problème du dénombrement des triangles et le transformer un peu. Si au lieu de triangles, on devait compter des rectangles, combien y en aurait-il dans une colonne de rectangles.
Si la colonne n'en contient qu'un la réponse est évidente, il y en a 1
Si la colonne contient deux rectangles, il y a 2 rectangles de longueur 1 et 1 rectangle de longueur 2. 2 + 1 = 3
Si la colonne en contient trois, il y a 3 rectangles de longueur 1, 2 de longueur 2 et 1 de longueur 3. 3 + 2 + 1 = 6
Si la colonne en contient quatre, il y a 4 rectangles de longueur 1, 3 de longueur 2, 2 de longueur 3 et 1 de longueur 4. 4 + 3 + 2 + 1 = 10
Vous voyez où je veux en venir.
Une colonne de hauteur n, contiendra donc 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ n rectangles.
En relisant la colonne précédente on peut donc dire qu'une colonne de hauteur n contient n(n+1)/2 rectangles.

Somme des nombres de 1 à n

Pour additionner les nombres de 1 à 100, par exemple, il suffit de multiplier 101 par 100 et de diviser par 2. Pourquoi? Tout simplement parce que si on écrit les nombres de 1 à 100 en colonne sur une (grande) feuille de papier et qu'on les réécrit en ordre décroissant sur une autre colonne, on se retrouve avec 100 lignes dont la somme est 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,..., 100 + 1 = 101. Le total de ces 100 lignes donne 100 x 101 et omme il correspond à deux fois la somme demandée, il suffit de diviser ce résultat par 2.

En bref, la somme des nombres de 1 à n est égale à n(n+1)/2.

Selon la légende, cette formule connue depuis très longtemps aurait été utilisée par le grand mathématicien Johann Gauss alors qu'il n'avait que 10 ans.

suite au problème précédent

Eh bien non! La réponse est 48, comme on peut le voir dans ce site et la raison est expliquée (en anglais) dans ce site.
En bref, le nombre de triangles dans un triangle à n étages est n(n+2)(2n+1)/8, lorsque n est pair et (n(n-2)(2n-1)-1/8) quand n est impair.

Compter des triangles

Combien de triangles y a-t-il dans cette figure?

Nous avions trouvé qu'il y avait 1 triangle avec 1 étage de triangles, 5 triangles avec 2 étages, 13 triangles avec 3 étages et 27 dans avec 4 étages. Nous pensions qu'avec 5 étages on aurait peut-être 47 triangles. Avions-nous raison?

les triplets pythagoriciens

Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des autres côtés (c'est à dire a^2+b^2=c^2). Il existe un moyen très simple de trouver trois nombres entiers qui obéissent à ce critère (c'est ce qu'on appelle un triplet pythagoricien). On remarque que la différence entre deux nombres carrés est égale à la somme de leurs racines carrées. Par exemple: 64 - 49 = 15 ou 8^2 - 7^2 = 8+7. Cette différence est toujours un nombre impair, mais si cette différence est un carré, nous avons trouvé nos trois nombres.
Par exemple: Prenons 7^2 ou 49. 49 = 24 + 25 et donc 25^2 - 24^2 = 7^2.

On trouvera beaucoup de faits intéressants en suivant ce lien

Les angles intérieurs de l'hexagone

Tout a commencé avec un problème où il fallait trouver la valeur de l’angle intérieur d’un hexagone régulier.

Il est facile de voir qu’un hexagone régulier peut être divisé en six triangles congrus. Comme la somme des angles intérieur de chaque triangle est de 180 degrés. (une belle preuve se trouve sur ce site: http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle#Somme_des_angles) La somme des angles de ces six triangles est de 1080 degrés (6 x 180), mais comme les angles qui se rejoignent au centre de l’hexagone ont une somme de 360 degrés, La somme des angles intérieurs de l’hexagonne vaut seulement 720 degrés (1080 - 360). La valeur de l’angle intérieur d’un hexagone régulier vaut donc 120 degrés (720/6).
On peut étendre ce raisonnement à un polygone à n côtés. Dans ce cas, l'angle intérieur mesurera 180 (n-2)/n.